„Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.“   N. BOURBAKI

Logische Strukturen

Die Nachbarschaftsbeziehungen der europäischen Staaten als Graph.
Knoten repräsentieren die Staaten, Kanten repräsentieren die gegenseitigen Beziehungen. Mit freundlicher Genehmigung von aisee.com.

Strukturen in der Mathematik

Die Menge

„Eine Menge M ist die Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.“ G. CANTOR
Daß es sich dabei tatsächlich nicht um eine mathematische Definition handelt, ist klar, denn die darin selbst vorkommenden Begriffe sind selbst undefiniert. Dennoch ist diese Formulierung geeignet eine gute intuitive Vorstellung vom Begriff der Menge zu geben.“ Aus Kasch/Pareigis: Grundbegriffe der Mathematik, München 1991.

Algebraische Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge A zusammen mit einer Menge von Verknüpfungen auf A.

Beispiel:
Die Menge A = {0, 1} ist zusammen mit der (binären) Verknüpfung ⊕
eine algebraische Struktur. In der Booleschen Algebra bezeichnet man diese Verknüpfung als exklusives Oder (kurz: XOR). Wichtige algebraische Strukturen sind Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume.

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile der anderen Struktur eindeutig abgebildet werden. Ein Homomorphismus ist „strukturerhaltend“.

Gruppe

Eine Gruppe (G, ⋅) ist eine algebraische Struktur mit folgenden Eigenschaften:

Die Verknüpfung „⋅“ führt nicht aus der Menge G hinaus und ist
assoziativ: a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c.
Es gibt ein neutrales Element e, so dass für alle a aus G gilt: a⋅e = e⋅a = a und
zu jedem Element a aus G gibt es ein inverses Element i mit: a⋅i = i⋅a = e.

Dürfen in der Verknüpfung die Operanden vertauscht werden (a⋅b = b⋅a), heißt die Gruppe G kommutativ oder abelsch.

Beispiele
Die Menge Z der ganzen Zahlen ist zusammen mit der Verknüpfung + eine abelsche Gruppe (Z, +).
Die Menge R \ {0} der reellen Zahlen ohne Null ist zusammen mit der Verknüpfung ⋅ eine abelsche Gruppe (R \ {0}, ⋅)
Die Menge G = {e, a, a2, a3} der Drehungen in der Ebene um 0°, 90°, 180° und 270° bildet bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine abelsche Gruppe:
Führt man zwei Drehungen hintereinander aus, erhält man wieder eine Drehung.
Die viermalige Ausführung von a bildet das Objekt auf sich selbst ab, ist also das neutrale Element e der Gruppe. Ferner gibt es zu jeder Drehung eine inverse Drehung (die wieder auf den Ausgangspunkt zurückführt).
Die Gruppentheorie wird in der Chemie bei der Klassifizierung von Kristallstrukturen und der Aufklärung der Molekülstruktur herangezogen.

Körper

Ein Körper (K, +, ⋅) ist eine algebraische Struktur mit folgenden Eigenschaften:

(K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0.
(K \ {0},⋅) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1.
Es gilt das Distributivgesetz: a⋅(b + c)=a⋅b + a⋅c.
Beispiele:
Die Menge Q der rationalen Zahlen ist zusammen mit den Verknüpfungen + und ⋅ ein Körper (Q, +, ⋅).
Die Menge R der reellen Zahlen ist zusammen mit den Verknüpfungen + und ⋅ ein Körper (R, +, ⋅).
Die Menge C der komplexen Zahlen {a + ib | a, b reell}
ist zusammen mit den Verknüpfungen
+:  (a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d) und
⋅:  (a + ib) ⋅ (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
ein Körper (C, +, ⋅).
Die Menge K={0,1} mit den Abbildungen ⊕ und⋅ ist ein Körper:

Vektorraum

Ein K-Vektorraum (V, +, ⋅) ist eine algebraische Struktur mit folgenden Eigenschaften:

(V, +) ist eine abelsche Gruppe mit dem Nullvektor als neutrales Element. Die Elemente v aus V heißen Vektoren.
Weiter ist eine Skalarmultiplikation definiert: Für beliebige Elemente λ des Körpers K (sogenannte Skalare) und beliebige Vektoren v liegt λ⋅v wieder in V und es gilt:
1⋅v = v
λ(μv) = (λμ)v
λ(u + v) = λu + λv
(λ + μ)v = λv + μv
Beispiele
Die Menge R2 der geordneten Zahlenpaare ist zusammen mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation (mit reellen oder komplexen Zahlen) ein .R- bzw. C-Vektorraum.
Die Menge aller reellen Funktionen wird mit den Verknüpfungen (f+g)(x) = f(x) + g(x) und (cf)(x) = c⋅f(x)
(f, g Funktionen und c reell) ein R-Vektorraum.
Die Menge der Lösungen einer linearen Differentialgleichung über R ist ein R-Vektorraum. Sind f(x) und g(x) Lösungen, so ist auch c1f(x) + c2g(x) eine Lösung (Superpositionsprinzip).

Normierter Raum

Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge eines Vektors. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines Vektorraums eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften (unter anderem die Dreiecksungleichung) erfüllt. Der Vektorraum, auf dem die Norm definiert ist, wird dann normierter Raum oder auch normierter Vektorraum genannt.

Eine Funktion || ⋅ ||: V → R0+ heißt Norm, wenn sie die folgenden 3 Bedingungen erfüllt:
||v|| = 0 ↔ v = 0 (Definitheit)
||αv||=|α| ⋅ ||v|| (Homogenität)
||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| (Dreiecksungleichung)
Beispiele
Der Vektorraum R2 der geordneten Zahlenpaare (Punkte der Ebene) ist zusammen mit der euklidischen Norm

ein normierter Vektorraum.
Die 1-Norm

und die Tschebyschew-Norm oder Maximum-Norm

erfüllen ebenfalls die Eigenschaften einer Norm. Sie werden in der Numerik bei der Bestimmung von Best-Approximationen angewendet.

Euklidische und unitäre Vektorräume

Ein reeller Vektorraum V wird zum euklidischen Raum, falls auf ihm ein Skalarprodukt erklärt ist, d.h. eine Abbildung

(u, v) → <u, v> , die
positiv definit ist,
linear in der ersten und zweiten Spalte ist (bilinear) und
symmetrisch ist.
Beispiele
Der Vektorraum R2 der geordneten Zahlenpaare (Punkte der Ebene) ist zusammen mit dem Standardskalarprodukt

ein euklidischer Raum. Jeder euklidische Raum ist ein normierter Raum, denn das Skalarprodukt induziert eine Norm auf V:

Im euklidischen Raum können Winkel zwischen Vektoren definiert werden:
Der Vektorraum L2 der (reellwertigen) quadratintegrierbaren Funktionen ist zusammen mit dem Skalarprodukt
ein euklidischer Raum.
Dieser Funktionenraum hat große Bedeutung in der Funktionalanalysis und in der Quantentheorie. Beim Arbeiten mit Funktionenräumen macht es durchaus Sinn, sich Funktionen als Vektoren in der Ebene vorzustellen. In vollständigen euklidischen Räumen (sogenannten Hilberträumen) können Vektoren ähnlich wie Vektoren im 3-dimensionalen Raum durch ihre Koordinaten bzgl. einer Basis dargestellt werden. Eine entsprechende Verallgemeinerung des Skalarprodukts für komplexe Vektorräume führt auf den Begriff des unitären Raums.
Interessant sind in euklidischen und unitären Räumen wieder die strukturerhaltenden Abbildungen f: V→W: Eine lineare Abbildung f: V→W zwischen zwei euklidischen (unitären) Räumen V und W heißt orthogonal (unitär), falls gilt: < f (u) | f (v) > = < u | v >
Im zweidimensionalen euklidischen Raum (der Zeichenebene) sind die orthogonalen Abbildungen gerade die (Längen und Winkel erhaltenden) Drehungen und Spiegelungen.

Topologische Räume

Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, Ο) aus einer Menge X und einer Menge Ο von Teilmengen von X, im Folgenden offene Mengen genannt, mit den Eigenschaften:

Die leere Menge ∅ und X selbst sind offen,
jede Vereinigung offener Mengen ist offen und
der Durchschnitt von je zwei offenen Mengen ist offen.

Beispiel
Die Menge X aller Punkte im Raum ist zusammen mit der Menge Ο aller offenen Kugeln ein topologischer Raum.
Jeder metrische Raum X läßt sich mittels Kugeln topologisieren.

Mit Hilfe der offenen Mengen läßt sich die Stetigkeit von Abbildungen definieren:
Eine Abbildung f: X → Y zwischen zwei topologischen Räumen X und Y heißt stetig, falls für jede offene Teilmenge Ω ⊂ Y auch das Urbild f−1(Ω) ⊂ X offen ist.
Der Begriff der Stetigkeit kommt also ganz ohne eine Metrik − einer Möglichkeit zum Messen von Abständen − aus! In der Topologie spielen stetige, bijektive Abbildungen, deren Umkehrabbildung wieder stetig ist, sogenannte Homöomorphismen eine große Rolle. Anschaulich kann man sich einen Homöomorphismus als Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands vorstellen; aus diesem Grund wird die Topologie scherzhaft als „Gummigeometrie“ bezeichnet.
Siehe auch dazu eine hervorragende Animation.

Metrische Räume

Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) aus einer Menge X und einer Abbildung d auf X (genannt Metrik oder Abstand), die folgende Bedingungen erfüllt:

d (x, y) ≥ 0, und d (x, y) = 0 genau dann wenn x = y (positive Definitheit)
d (x, y) = d (y, x) (Symmetrie)
d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (Dreiecksungleichung)
Beispiel

Die Menge X aller Punkte im Raum wird zusammen mit der euklidischen Metrik d ein metrischer Raum:

Die Menge aller europäischen Städte wird zusammen mit einer Entfernungstabelle zum metrischen Raum.

Ordnungsstrukturen

In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der „Kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen. Aus de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation.

Halbordnung
auch Partialordnung, Halbordnung, Teilordnung oder Ordnungsrelation im engeren Sinne genannt − ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Beispielsweise ist die Teilmengenbeziehung eine Halbordnung, denn sie ist
reflexiv, da jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist,
transitiv, da die Teilmenge einer Teilmenge von A auch Teilmenge von A ist,
antisymmetrisch, da nur A selbst sowohl Teilmenge als auch Obermenge von A ist.

Lineare Ordnung
Eine Totalordnung oder lineare Ordnung (abgekürzt mit ≤) ist eine Halbordnung mit der Eigenschaft, dass für je zwei beliebige Elemente a, b der Grundmenge mit a ≠ b stets mindestens eine der beiden Relationen a ≤ b oder b ≤ a gilt.
Die „Kleiner-gleich“-Relation über der Menge der reellen Zahlen ist beispielsweise eine lineare Ordnung.

Strenge Totalordnung
Eine strenge Totalordnung (abgekürzt mit <) ist eine Halbordnung mit der Eigenschaft, dass für je zwei beliebige Elemente a, b der Grundmenge stets eine der drei Relationen a < b, a = b oder b < a gilt.
Die „Kleiner“-Relation über der Menge der reellen Zahlen ist beispielsweise eine strenge Totalordnung.

Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen und Quotientenräume

In der Mathematik möchte man in vielen Zusammenhängen Objekte, die sich in gewissen Aspekten ähneln, als gleichwertig ansehen. Eine Formalisierung der Mindestanforderungen an einen solchen Gleichwertigkeitsbegriff ist der Begriff der Äquivalenzrelation.

Eine Relation heißt Äquivalenzrelation ∼ auf der Menge M, falls für alle Elemente a ∈ M gilt:
a ∼ a (Reflexivität)
a ∼ b genau dann wenn b ∼ a (Symmetrie)
Aus a ∼ b und b ∼ c folgt a ∼ c (Transitivität)

Zwei Elemente a und b mit a ∼ b heißen zueinander äquivalent.

Beispiel: Restklasse modulo 5
Zwei ganze Zahlen a und b seien äquivalent, wenn sie denselben Rest bei Division durch 5 haben. Eine gleichwertige Formulierung ist: wenn ihre Differenz durch 5 teilbar ist. Beispielsweise sind 2, 7, 152 und −3 äquivalent.

Die Äquivalenzklasse [a] eines Elements a ∈ M enthält alle Elemente aus M, die äquivalent zu a sind. Bezüglich der Äquivalenzrelation „modulo 5“ ist die Äquivalenzklasse [2] die folgende Teilmenge der ganzen Zahlen:
{... -8, -3, 2, 7, 12, ...}
Elemente einer Äquivalenzklasse werden ihre Repräsentanten oder Vertreter genannt. Beispielsweise ist 7 ein Vertreter aus [2].

Die Menge
aller Äquivalenzklassen [a] bildet eine Zerlegung von M, d.h.:
verschiedene Äquivalenzklassen haben kein Element gemeinsam und
die Vereinigungsmenge aller Äquivalenzklassen ist die Menge M.

Falls die Äquivalenzrelation gewisse Voraussetzungen erfüllt (auf die hier nicht eingegangen werden kann), wird die Faktormenge zur Faktorgruppe (zum Faktorkörper, zum Quotientenkörper, zum Quotientenvektorraum).
Beispielsweise kann auf der Faktormenge {[0], [1]} (gerade Zahlen, ungerade Zahlen) eine Verknüpfung + definiert werden durch:
[0] + [0] = [0]
[0] + [1] = [1]
[1] + [0] = [1]
[1] + [1] = [0]

In Worten:
gerade + gerade = gerade
gerade + ungerade = ungerade
ungerade + gerade = ungerade
ungerade + ungerade = ungerade

Die Faktormenge {[0], [1]} wird mit der Verknüpfung + zur Faktorgruppe.

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Strukturen in der Physik

semantic map
MIT visualization of the chaotic tangle underlying turbulence. Area in black box represents a blown-up portion of the fluid showing the self-similarity of the tangle. Graphic courtesy / George Haller.

Symmetrien in der Physik

Symmetrie und Invarianzen
Kristallstruktur

Chaosforschung

de.wikipedia.org/wiki/Chaosforschung

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